On the density of sets avoiding parallelohedron distance 1

The maximal density of a measurable subset of R^n avoiding Euclidean distance1 is unknown except in the trivial case of dimension 1. In this paper, we consider thecase of a distance associated to a polytope that tiles space, where it is likely that the setsavoiding distance 1 are of maximal density 2^-n, as conjectured by Bachoc and Robins. We prove that this is true for n = 2, and for the Vorono\"i regions of the lattices An, n >= 2

Symmetric ideals, Specht polynomials and solutions to symmetric systems of equations

An ideal of polynomials is symmetric if it is closed under permutations of variables. We relate general symmetric ideals to the so called Specht ideals generated by all Specht polynomials of a given shape. We show a connection between the leading monomials of polynomials in the ideal and the Specht polynomials contained in the ideal. This provides applications in several contexts. Most notably, this connection gives information about the solutions of the corresponding set of equations. From another perspective, it restricts the isotypic decomposition of the ideal viewed as a representation of the symmetric group.Comment: Some revisions due to comments of referee

Exact semidefinite programming bounds for packing problems

In this paper we give an algorithm to round the floating point output of a semidefinite programming solver to a solution over the rationals or a quadratic extension of the rationals. We apply this to get sharp bounds for packing problems, and we use these sharp bounds to prove that certain optimal packing configurations are unique up to rotations. In particular, we show that the configuration coming from the $\mathsf{E}_8$ root lattice is the unique optimal code with minimal angular distance $\pi/3$ on the hemisphere in $\mathbb R^8$, and we prove that the three-point bound for the $(3, 8, \vartheta)$-spherical code, where $\vartheta$ is such that $\cos \vartheta = (2\sqrt{2}-1)/7$, is sharp by rounding to $\mathbb Q[\sqrt{2}]$. We also use our machinery to compute sharp upper bounds on the number of spheres that can be packed into a larger sphere.Comment: 24 page

The poset of Specht ideals for hyperoctahedral groups

Specht polynomials classically realize the irreducible representations of the symmetric group. The ideals defined by these polynomials provide a strong connection with the combinatorics of Young tableaux and have been intensively studied by several authors. We initiate similar investigations for the ideals defined by the Specht polynomials associated to the hyperoctahedral group Bn. We introduce a bidominance order on bipartitions which describes the poset of inclusions of these ideals and study algebraic consequences on general Bn-invariant ideals and varieties, which can lead to computational simplifications

Geometric distance graphs, lattices and polytopes

Un graphe métrique G(X;D) est un graphe dont l’ensemble des sommets est l’ensemble X des points d’un espace métrique (X; d), et dont les arêtes relient les paires fx; yg de sommets telles que d(x; y) 2 D. Dans cette thèse, nous considérons deux problèmes qui peuvent être interprétés comme des problèmes de graphes métriques dans Rn. Premièrement, nous nous intéressons au célèbre problème d’empilements de sphères, relié au graphe métrique G(Rn; ]0; 2r[) pour un rayon de sphère r donné. Récemment, Venkatesh a amélioré d’un facteur log log n la meilleure borne inférieure connue pour un empilement de sphères donné par un réseau, pour une suite infinie de dimensions n. Ici nous prouvons une version effective de ce résultat, dans le sens où l’on exhibe, pour la même suite de dimensions, des familles finies de réseaux qui contiennent un réseaux dont la densité atteint la borne de Venkatesh. Notre construction met en jeu des codes construits sur des corps cyclotomiques, relevés en réseaux grâce à un analogue de la Construction A. Nous prouvons aussi un résultat similaire pour des familles de réseaux symplectiques. Deuxièmement, nous considérons le graphe distance-unité G associé à une norme k_k. Le nombre m1 (Rn; k _ k) est défini comme le supremum des densités réalisées par les stables de G. Si la boule unité associée à k _ k pave Rn par translation, alors il est aisé de voir que m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc et S. Robins ont conjecturé qu’il y a égalité. On montre que cette conjecture est vraie pour n = 2 ainsi que pour des régions de Voronoï de plusieurs types de réseaux en dimension supérieure, ceci en se ramenant à la résolution de problèmes d’empilement dans des graphes discrets.A distance graph G(X;D) is a graph whose set of vertices is the set of points X of a metric space (X; d), and whose edges connect the pairs fx; yg such that d(x; y) 2 D. In this thesis, we consider two problems that may be interpreted in terms of distance graphs in Rn. First, we study the famous sphere packing problem, in relation with thedistance graph G(Rn; (0; 2r)) for a given sphere radius r. Recently, Venkatesh improved the best known lower bound for lattice sphere packings by a factor log log n for infinitely many dimensions n. We prove an effective version of this result, in the sense that we exhibit, for the same set of dimensions, finite families of lattices containing a lattice reaching this bound. Our construction uses codes over cyclotomic fields, lifted to lattices via Construction A. We also prove a similar result for families of symplectic lattices. Second, we consider the unit distance graph G associated with a norm k _ k. The number m1 (Rn; k _ k) is defined as the supremum of the densities achieved by independent sets in G. If the unit ball corresponding with k _ k tiles Rn by translation, then it is easy to see that m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc and S. Robins conjectured that the equality always holds. We show that this conjecture is true for n = 2 and for several Voronoï cells of lattices in higher dimensions, by solving packing problems in discrete graphs

Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes

A distance graph G(X;D) is a graph whose set of vertices is the set of points X of a metric space (X; d), and whose edges connect the pairs fx; yg such that d(x; y) 2 D. In this thesis, we consider two problems that may be interpreted in terms of distance graphs in Rn. First, we study the famous sphere packing problem, in relation with thedistance graph G(Rn; (0; 2r)) for a given sphere radius r. Recently, Venkatesh improved the best known lower bound for lattice sphere packings by a factor log log n for infinitely many dimensions n. We prove an effective version of this result, in the sense that we exhibit, for the same set of dimensions, finite families of lattices containing a lattice reaching this bound. Our construction uses codes over cyclotomic fields, lifted to lattices via Construction A. We also prove a similar result for families of symplectic lattices. Second, we consider the unit distance graph G associated with a norm k _ k. The number m1 (Rn; k _ k) is defined as the supremum of the densities achieved by independent sets in G. If the unit ball corresponding with k _ k tiles Rn by translation, then it is easy to see that m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc and S. Robins conjectured that the equality always holds. We show that this conjecture is true for n = 2 and for several Voronoï cells of lattices in higher dimensions, by solving packing problems in discrete graphs.Un graphe métrique G(X;D) est un graphe dont l’ensemble des sommets est l’ensemble X des points d’un espace métrique (X; d), et dont les arêtes relient les paires fx; yg de sommets telles que d(x; y) 2 D. Dans cette thèse, nous considérons deux problèmes qui peuvent être interprétés comme des problèmes de graphes métriques dans Rn. Premièrement, nous nous intéressons au célèbre problème d’empilements de sphères, relié au graphe métrique G(Rn; ]0; 2r[) pour un rayon de sphère r donné. Récemment, Venkatesh a amélioré d’un facteur log log n la meilleure borne inférieure connue pour un empilement de sphères donné par un réseau, pour une suite infinie de dimensions n. Ici nous prouvons une version effective de ce résultat, dans le sens où l’on exhibe, pour la même suite de dimensions, des familles finies de réseaux qui contiennent un réseaux dont la densité atteint la borne de Venkatesh. Notre construction met en jeu des codes construits sur des corps cyclotomiques, relevés en réseaux grâce à un analogue de la Construction A. Nous prouvons aussi un résultat similaire pour des familles de réseaux symplectiques. Deuxièmement, nous considérons le graphe distance-unité G associé à une norme k_k. Le nombre m1 (Rn; k _ k) est défini comme le supremum des densités réalisées par les stables de G. Si la boule unité associée à k _ k pave Rn par translation, alors il est aisé de voir que m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc et S. Robins ont conjecturé qu’il y a égalité. On montre que cette conjecture est vraie pour n = 2 ainsi que pour des régions de Voronoï de plusieurs types de réseaux en dimension supérieure, ceci en se ramenant à la résolution de problèmes d’empilement dans des graphes discrets

Geometric distance graphs, lattices and polytopes

Un graphe métrique G(X;D) est un graphe dont l’ensemble des sommets est l’ensemble X des points d’un espace métrique (X; d), et dont les arêtes relient les paires fx; yg de sommets telles que d(x; y) 2 D. Dans cette thèse, nous considérons deux problèmes qui peuvent être interprétés comme des problèmes de graphes métriques dans Rn. Premièrement, nous nous intéressons au célèbre problème d’empilements de sphères, relié au graphe métrique G(Rn; ]0; 2r[) pour un rayon de sphère r donné. Récemment, Venkatesh a amélioré d’un facteur log log n la meilleure borne inférieure connue pour un empilement de sphères donné par un réseau, pour une suite infinie de dimensions n. Ici nous prouvons une version effective de ce résultat, dans le sens où l’on exhibe, pour la même suite de dimensions, des familles finies de réseaux qui contiennent un réseaux dont la densité atteint la borne de Venkatesh. Notre construction met en jeu des codes construits sur des corps cyclotomiques, relevés en réseaux grâce à un analogue de la Construction A. Nous prouvons aussi un résultat similaire pour des familles de réseaux symplectiques. Deuxièmement, nous considérons le graphe distance-unité G associé à une norme k_k. Le nombre m1 (Rn; k _ k) est défini comme le supremum des densités réalisées par les stables de G. Si la boule unité associée à k _ k pave Rn par translation, alors il est aisé de voir que m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc et S. Robins ont conjecturé qu’il y a égalité. On montre que cette conjecture est vraie pour n = 2 ainsi que pour des régions de Voronoï de plusieurs types de réseaux en dimension supérieure, ceci en se ramenant à la résolution de problèmes d’empilement dans des graphes discrets.A distance graph G(X;D) is a graph whose set of vertices is the set of points X of a metric space (X; d), and whose edges connect the pairs fx; yg such that d(x; y) 2 D. In this thesis, we consider two problems that may be interpreted in terms of distance graphs in Rn. First, we study the famous sphere packing problem, in relation with thedistance graph G(Rn; (0; 2r)) for a given sphere radius r. Recently, Venkatesh improved the best known lower bound for lattice sphere packings by a factor log log n for infinitely many dimensions n. We prove an effective version of this result, in the sense that we exhibit, for the same set of dimensions, finite families of lattices containing a lattice reaching this bound. Our construction uses codes over cyclotomic fields, lifted to lattices via Construction A. We also prove a similar result for families of symplectic lattices. Second, we consider the unit distance graph G associated with a norm k _ k. The number m1 (Rn; k _ k) is defined as the supremum of the densities achieved by independent sets in G. If the unit ball corresponding with k _ k tiles Rn by translation, then it is easy to see that m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc and S. Robins conjectured that the equality always holds. We show that this conjecture is true for n = 2 and for several Voronoï cells of lattices in higher dimensions, by solving packing problems in discrete graphs

Symmetric Ideals, Specht Polynomials and Solutions to Symmetric Systems of Equations

This work has been supported by European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme under the Marie Skłodowska-Curie grant agreement 813211 (POEMA)An ideal of polynomials is symmetric if it is closed under permutations of variables. We relate general symmetric ideals to the so called Specht ideals generated by all Specht polynomials of a given shape. We show a connection between the leading monomials of polynomials in the ideal and the Specht polynomials contained in the ideal. This provides applications in several contexts. Most notably, this connection gives information about the solutions of the corresponding set of equations. From another perspective, it restricts the isotypic decomposition of the ideal viewed as a representation of the symmetric group

Symmetric Ideals, Specht Polynomials and Solutions to Symmetric Systems of Equations

This work has been supported by European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme under the Marie Skłodowska-Curie grant agreement 813211 (POEMA)An ideal of polynomials is symmetric if it is closed under permutations of variables. We relate general symmetric ideals to the so called Specht ideals generated by all Specht polynomials of a given shape. We show a connection between the leading monomials of polynomials in the ideal and the Specht polynomials contained in the ideal. This provides applications in several contexts. Most notably, this connection gives information about the solutions of the corresponding set of equations. From another perspective, it restricts the isotypic decomposition of the ideal viewed as a representation of the symmetric group.Polynomial Optimization, Efficiency through Moments and Algebr